אין סופיים ועברית

היום אדבר על נושא קצת יותר רחוק מטכנולוגיה, על מתמטיקה.

בעברי למדתי באוניברסיטת "בר אילן" תואר ראשון במתמטיקה ומחשבים, זה היה מסלול מיוחד שחיבר בין שני הנושאים. לפני, למדו מתמטיקה ורק רפרפו על נושא המחשבים. אהבתי את תחום המחשבים ושנאתי את תחום המתמטיקה.

אבל בכל זאת, יש בתחום מספר נושאים קסומים. אחד הנושאים הללו הוא תחום האין סופיים.

אני כותב "אין סופיים" כי מתברר שיש יותר מ"אין סוף" אחד ! קצת מוזר אבל אמיתי.

בואו ונצלול פנימה:

פעם, לפני שידענו לספור, והיינו צריכים להשוות גדלי שתי קבוצות, היינו שמים את האיברים שלהם זה ליד זה ואם כל זוג התאים – ידענו שהקבוצות בגודל זהה. אם נשארו לנו פרטים של אחת הקבוצות – אז היא הייתה בעלת יותר פרטים מהשנייה.

דוגמא: יש לנו ילדים וסוכריות. איזו קבוצה בעלת יותר פרטים ? ניתן לכל ילד לאכול סוכריה אחת, אם נשארו סוכריות – אז היו לנו יותר סוכריות, אם נשארו ילדים שלא קיבלו סוכריה – אז היו לנו יותר ילדים.

דבר דומה נוכל לעשות עם קבוצות לא סופיות. במקרה שכזה לא מדובר על "מספר" איברי הקבוצה אלא על "עוצמת" איברי הקבוצה.

בואו ונבדוק את שתי הקבוצות הבאות: קבוצת כל המספרים הטבעיים וקבוצת כל הזוגיים, לכאורה עוצמת הקבוצה השנייה קטנה יותר (והיא אפילו חלק מהקבוצה הראשונה) אבל בפועל נוכל להראות זוגות של התאמות: לכל מספר נתאים את הכפול לו וכך יהיו זוגות לכל איברי שתי הקבוצות:

כלומר עוצמת שתי הקבוצות – זהה !

המתמטיקאי, גאורג קנטור, (1845 - 1918) אבי תורת הקבוצות, קרא לעוצמת המספרים הטבעיים: א0 וזו הייתה הפעם הראשונה שאות עברית הופיעה במתמטיקה (מקום בו תמיד הפסדנו ליוונים).

ומכך נובע שגם עוצמת המספרים הטבעיים הזוגיים הינה א0.

אז מה העוצמה של כל המספרים הרציונליים, שניתן לכתוב אותם כמונה טבעי חלקי מכנה טבעי ? m/n ?

מתברר שניתן להתאים לכל שבר רציונלי מספר טיבעי ! ולכן גם העוצמה של קבוצת כל המספרים הרציונליים היא א0

ראו את ההתאמה:

אוקי, אז מה עם כל המספרים האי-רציונליים ? כמו פי, אי (בסיס הלוגריתם הטיבעי) או שורש 2 ?

מתברר שאי אפשר להתאים את כל המספרים האי-רציונליים למספרים הטבעיים. גם אם נסדר את כל המספרים האי-רציונליים בשורה ונתאים לכל אחד ואחד מספר טיבעי, ניתן יהיה ליצור מספר אי-רציונלי חדש שלא נמצא ברשימה (האין סופית) שיצרנו.

דוגמא ליצירת מספר כזה: צור רשימה של כל המספרים האי-רציונליים בין 0 ל 1, קח את הסיפרה הראשונה של המספר הראשון, אם הוא 1 אז שים במספר החדש, במקום של הסיפרה המדוברת, את הסיפרה 1, אחרת שים בו 2:

ככה נוצר מספר שהוא בהכרח לא היה ברשימה ולכן עוצמת המספרים האי-רציונליים, גדולה מעוצמת המספרים הטבעיים.

קנטור קרא לעוצמת המספרים האי-רציונליים: א ולכן א גדולה מ א0.

נדלג קדימה ונגיע ל"השערת הרצף" – השערה שעוסקת בעוצמות אין סופיים הנמצאים בין עוצמות של אין סופיים מוכרים (לא ניכנס לזה כאן...)

ב 1900, מתמטיקאי בשם דויד הילברט אמר: "זו הבעייה, הבלתי פתורה, החשובה ביותר במתמטיקה".

ב 1937, מתמטיקאי בשם קורט גויידל אמר: "אי אפשר להוכיח כי ההשערה אינה נכונה".

ב 1963, מתמטיקאי בשם פול כוהן אמר: "אי אפשר להוכיח כי ההשערה אכן נכונה".

בהחלט לא משעמם להם שם...